حساب المثلثات

حساب المثلثات فرع من الرياضيات يعنى بالعلاقات بين أضلاع وزوايا المثلثات، ويقدم طرقاً لقياس هذه الزوايا والأضلاع. ولحساب المثلثات تطبيقات في العلوم البحتة، مثل الفيزياء والفلك، وفي مجالات تطبيقية، مثل المساحة والملاحة.
وهناك نوعان من حساب المثلثات هما حساب المثلثات المستوي و حساب المثلثات الكروي. ويُستخدم حساب المثلثات المستوي لتحديد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على المستوى، بينما يستخدم حساب المثلثات الكروي لإيجاد أضلاع وزوايا مجهولة لمثلثات تقع على سطح كروي.
وكلا النوعين من حساب المثلثات مؤسس على العلاقات الموجودة بين مكونات المثلث الستة ـ الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث. وبفضل هذه العلاقات، يكاد يكفينا في كل الأحوال معرفة قياس أي ثلاث من هذه المكونات لتحديد قياس المكونات الثلاثة المتبقية، بشرط أن يكون أحد المكونات المعلومة ضلعًا من أضلاع المثلث. ومن الضروري معرفة طول ضلع واحد على الأقل، إذ من الممكن أن تختلف الأضلاع المتناظرة في مثلثين بالرغم من تساوي الزوايا المتناظرة كافة في هذين المثلثين.
وحساب المثلثات مؤسس على نوع من الهندسة يدعى الهندسة الإقليدية. وهي هندسة انبثقت من مجموعة من الفرضيات قام بتحديدها في مطلع القرن الثالث قبل الميلاد عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس انظر: الهندسة. أما حساب المثلثات الكروي، فقد تم وصفه لأول مرة عام 150م في كتاب لبطليموس الإسكندري يدعى المجسطي. ولقد تطور حساب المثلثات المستوي في القرن الخامس عشر الميلادي على يد الرياضي الألماني يوهان ميلر الذي كان يدعى أيضاً ريجيومونتانوس.

حساب المثلثات المستوي


كي نفهم حساب المثلثات، يجب علينا أولاً دراسة خواص المثلثات المتشابهة. نقول عن مثلثين إنهما متشابهان
تطابقت زواياهما المتناظرة، فمثلاً المثلثان أ ب ج، و د هـ و أدناه متشابهان إذا كانت الزاوية أ = الزاوية د و الزاوية ب = الزاوية هـ والزاوية ج = الزاوية و. أما الأضلاع المتناظرة في مثلثين متشابهين فليست بالضرورة متساوية، ولكنها تكون متناسبة. لذا إذا كان المثلثان أ ب ج، و د هـ و متشابهين فإن النسبة أ ب : أ ج تساوي النسبة د هـ : د و لنفترض أن أ ب وحدات، أ ج= 5 وحدات، و د هـ = 9 وحدات، طول د و في هذه الحالة = 15 وحدة لأن
9/15 = 3/5

المثلث قائم الزاوية. يستخلص حساب المثلثات إلى حد كبير من المثلثات قائمة الزاوية المتشابهة. والمثلث قائم الزاوية مثلث تكون إحدى زواياه 90°. وبما أن مجموع زوايا المثلث 180° ، فإن الزاويتين الأخريين في المثلث قائم الزاوية تكونان حادتين، ومجموعهما يساوي 90°.
فإذا علمنا قيمة إحدى الزوايتين الحادتين يمكننا معرفة الأخرى بطرح الزاوية المعلومة من 90°. وبالإضافة إلى ذلك، إذا كانت إحدى الزاويتين الحادتين لمثلث قائم الزاوية تساوي إحدى الزوايتين الحادتين لمثلث آخر قائم الزاوية، فإن هذين المثلثين يكونان متشابهين. ففي المثلثين قائمي الزاوية (أ ب ج)، و(د هـ و) أدناه، على سبيل المثال، نجد أن كلاً من الزاوية (ج) والزاوية (و) قائمة، والزاوية (أ) تساوي الزاوية (د) وعليه يكون المثلثان متشابهين، ومن ثم تتناسب أضلاعهما. إذن
ل/ك = س/ص و م/ك = ع/ص و ل/م = س/ع
إن النسب التي تتكون منها هذه التناسبات تساوي نسب الأضلاع المناظرة في أي مثلث قائم الزاوية تساوي إحدى زاويتيه الحادتين الزاوية أ. وقد أعطيت كل واحدة من النسب الست الممكن تشكيلها في المثلث قائم الزاوية اسماً: ففي الشكل أعلاه، مثلاً تسمى، النسبة جيب الزاوية أ وتكتب جا أ. والنسبة تسمى جيب تمام الزاوية أ وتكتب جتا أ، والنسبة تُسمى ظل الزاوية أ وتكتب ظـا أ. وقد قام الرياضيون بتجميع قيم كل من هذه النسب لجميع الزوايا الممكنة لمثلث قائم الزاوية في جداول وبرمجت هذه الجداول في الحاسبات العلمية.
وتشتمل الجداول المثلثية أيضاً على ثلاث نسب أخرى أقل استخداماً من النسب السابقة وهي القاطع وقاطع التمام وظل التمام. فقاطع الزاوية أ هو ص/ع ويكتب قا أ، وقاطع تمام الزاوية أ هو ع/س ويكتب قتا أ، وظل تمام الزاوية أ هوع/س ويكتب ظتا أ.
وفيما يلي التعاريف الرسمية للنسب المثلثية الست :

جيـــب الـزاوية = طول الضلع المقابل للزاوية / طول الوتر
جيب تمام الزاوية = طول الضلع المجاور للزاوية / طول الوتر
ظــــــل الزاويــة =طول الضلع المقابل للزاوية /طول الضلع المجاور للزاوية
قاطـــع الزاويـــة =طول الوتر/طول الضلع المجاور للزاوية
قاطـع تمام الزاوية =طول الوتر/طول الضلع المقابل للزاوية
ظـل تمــام الزاوية =طول الضلع المجاور للزاوية /طول الضلع المقابل للزاوية
وتتيح النسب المثلثية إمكانية إيجاد الأضلاع الثلاثة لمثلث قائم الزاوية أ ب ج، إذا علمنا قياس إحدى زاويتيه الحادتين وطول أي من أضلاعه. فعلى سبيل المثال، إذا كانت الزاوية أ = 30 فيمكن استخدام الجداول أو الآلة الحاسبة لمعرفة أن جا أ = ½وإذا كان جا أ = ½ فإن س/ص = ½ وعليه إذا كان ص = 9 وحدات فإن س = ½ 4 وحدة.
وهذه الطريقة لها عدة تطبيقات، افترض مثلاً أنك جالس على شط نهر عند نقطة م وتنظر الى شجرة عند نقطة ن على الشط الآخر (انظر: الشكل التالي) فيمكنك بالطريقة المذكورة معرفة المسافة بين م و ن دون عبور النهر. ضع أولاً علامة عند النقطة م ثم سر على مستقيم معامد للمستقيم ن م إلى أن تصل نقطة ملائمة هـ مثلاً، منشئاً بهذا مثلثاً قائم الزاوية هـ ن م. ثم قس طول المستقيم م هـ. فإذا كان طول م هـ = 75 وحدة مثلاً ومقاس الزاوية هـ = 40°، فيمكننا استخدام الجداول أو الآلة الحاسبة لمعرفة أن ظا 40 = 0,8391 وبما أن ظا هـ = م ن / م ه فإن م ن = م هـ ظا 40 = (75 وحدة) 0,8391= 62,93وحدة.

قانون الجيب. تقتضي بعض التطبيقات حساب المكونات لمثلث غير قائم الزاوية. فإذا علمت زوايتين وضلعاًًًًً لمثلث ما فيمكنك إيجاد الزاوية المتبقية والضلعين الآخرين باستخدام قانون الجيب الذي ينص على ما يلي: في أي مثلث أ ب ج أضلاعه أََ، بَ، جَ (انظر الشكل أدناه).
أَ/ جا أ = بَ/ جا ب = جَ/ جا ج .
إذا علمنا الزاوية أ والزاوية ب فيمكننا تحديد الزاوية ج لأن الزاوية ج = 180-( الزاوية أ + الزاوية ب). وإذا علمنا الضلع جَ فيمكننا حساب الضلعين أَ و بَ لأننا نعلم من قانون الجيب أن:
بَ = جَ × جا ب/ جا ج و أَ جَ × جا أ/ جا ج

قانون جيب التمام. إذا علمنا ضلعين من مثلث غير قائم الزاوية والزاوية المحصورة بينهما، فيمكننا إيجاد المكونات الأخرى للمثلث باستخدام قانون جيب التمام الذي نصه: في المثلث أ ب ج ذي الأضلاع أ َ، بَ، جَ:
ج َ² = أ َ2 +ب َ² - 2أ َبَ جتا ج. وإذا علمنا قيمة الضلعين أ َ ، بَ والزاوية ج، فإننا نستطيع حساب الضلع جَ من قانون جيب التمام. ثم نستطيع استخدام قانون الجيب لتحديد الضلعين الآخرين. فمثلاً إذا كان أ = 5 وحدات، و ب = 7 وحدات، والزاوية ج = 52° فيمكننا حساب طول الضلع المجهول وكذلك الزاويتين الأخريين لمثلث. فباستخدام الجداول أوالآلة الحاسبة، يمكننا التحقق من أن جتا 52° = 6157،0 وباستخدام قانون جيب التمام، نجد:
ج َ² = [(25 + 49) - (70 × 6157,0)] = 90,30
ثم نحسب جَ، حيث جَ= 30,9¬= 56,5 وحدة.
بعد ذلك، نطبق قانون الجيب : بَ / جا ب = ج / جا ج .
لنجد جا ب × جَ = جا ج × بَ ومن ثم :

جا ب = جا ج × بَ/ ج َ = 7× جا 52 ° / 5,56 = 0,9922
وباستخدام الجداول أو الآلة الحاسبة، نجد أن الزاوية ب =82,8°. وأخيراً الزاوية أ = 180° - (82,8°+52°) = 45,2°.

حالة خاصة. هنالك حالة واحدة فقط يجب علينا فيها معرفة أكثر من ثلاثة من مكونات المثلث لإيجاد بقية الزوايا والأضلاع المجهولة. وتحدث هذه الحالة عندما نعلم ضلعين وإحدى الزوايا غير المحصورة بينهما. في هذه الحالة، يمكن أن يتخذ المثلث واحداً من شكلين محتملين. فمثلاً، في الشكل التالي، إذا علمنا الزاوية ج والضعلين س ، ص فقط، فإن المثلث يمكن أن يكون أحد المثلثين ج هـ م أو ج هـ د.

الاحتمالان الممكنان للزاوية المقابلة للضلع ص هما ج م هـ و ج د هـ، وهاتان الزاويتان متكاملتان، أي أن مجموعهما 180°. وجيوب الزويا المتكاملة متساوية ولذا فإن جا ج م هـ = جا ج د هـ. ومن ثم لا يمكن استخدام قانون الجيب لتحديد أي الزاويتين هي زاوية المثلث المطلوب. ولإيجاد المثلث المطلوب، علينا معرفة ما إذا كان للمثلث زاوية منفرجة أم أن كل زواياه حادة. فإذا كانت إحدى الزوايا منفرجة فإن المثلث هو ج هـ د أما إذا كانت كل الزوايا حادة فإن المثلث المطلوب هو ج هـ م. وبمجرد حصولنا على هذه المعلومة الإضافية، نستطيع استخدام قانون الجيب لتحديد المكونات المتبقية للمثلث.

حساب المثلثات الكروي


إن أقصر مسار بين نقطتين على سطح كرة هو قوس من الدائرة التي تمر بهاتين النقطتين ويتطابق مركزها مع مركز الكرة. ودائرة كهذه تسمى دائرة عظمى. وعليه فإن دوائر الطول التي تمر بالقطبين الشمالي والجنوبي هي دوائر عظمى. وكل دوائر العرض باستثناء دائرة الاستواء ليست دوائر عظمى. إذ إن مراكزها تقع أعلى أو أسفل من مركز الكرة.
تقاس أقواس الدوائر بالدرجات حيث مقياس الدائرة التامة هو 360°، ومحيط الدائرة العظمى على سطح الأرض حوالي 4008 كم، مما يجعل كل درجة من قوس دائرة عظمى على سطح الأرض تساوي حوالي 13,111 كم. وتعرف الزاوية بين دائرتين عظميين بأنها الزاوية بين المماسين لهاتين الدائرتين عند نقطة تقاطعهما، حيث المماس هو المستقيم الذي يمس القوس عند نقطة واحدة فقط دون أن يقطعه. ويتكون المثلث الكروي من تقاطعات ثلاث دوائر عظمى.
وبما أن كلاً من زوايا وأضلاع المثلث الكروي تقاس بالدرجات، فإن قوانين حساب المثلثات الكروي تختلف نوعاً ما عن قوانين حساب المثلثات المستوي. كذلك تختلف المثلثات الكروية عن المثلثات المستوية في أن مجموع زوايا المثلث الكروي تكون دائماً أكثر من 180°. بيد أن حساب المثلثات الكروي يستخدم الجداول ذاتها التي يستخدمها حساب المثلثات المستوي.
والقانونان الأساسيان لحساب المثلثات الكروي هما قانون الجيب للمثلثات الكروية الذي نصه:
أَ/ جا أ = بَ/ جا ب = جَ/ جا ج
وقانون جيب التمام للمثلثات الكروية الذي ينص على أن:
جتا جَ = (جتا أ َ) (جتا بَ) + (جا أ َ) (جا بَ) (جتا ج). ويُظهر الشكل أدناه كيفية تطبيق هذين القانونين : تحسب المسافة بين نيويورك وباريس برسم مثلث كروي رؤوسه عند نيويورك وباريس والقطب الشمالي.

وبما أن خط طول باريس هو 20,2° شرقاً وخط طول نيويورك هو 58,73 °غرباً، فإن الزاوية ج هي 20,2° +58,73° = 78,75°. وبما أن خط عرض باريس هو 51,48° ، شمالاً، فإن القوس أَََ هو 90° - 51,48° = 49,41°. وبما أن خط عرض نيويورك هو 40,40°شمالاً، فإن القوس بَ هو 90° - 40,40°= 60,49°. ومن قانون جيب التمام للمثلثات الكروية، يمكن حساب طول القوس جَ باستخدام المعادلة :
جتا جَ = جتا 49,41°× جتا 60,49° + جا 49,41° × جا 60,49°× جتا 78,75° = 74907,0 × 64812,0 + 66249,0×76154,0 * 24565,0 = 60942,0
ومن الجداول أو الآلة الحاسبة، نجد أن العدد 60942,0 هو جيب تمام الزاوية 45,2°، إذن فالقوس جَ هو 45,2°. ولأن كل درجة من قوس دائرة عظمى تعطي مسافة قدرها 13,111كم، فإن المسافة بين نيويورك وباريس هي 13,111 × 45,52 أي 5829كم.
ولإيجاد اتجاه باريس بالنسبة لنيويورك، نحسب مقياس الزاوية أ باستخدام قانون الجيب للمثلثات الكروية:

= جا أَ / جا أ = جا جَ / جا ج
جا أ × جا جَ = جا أ َ × جا ج

جا أ = جا أَ × جا ج / جا جَ
= 0,66249 × 0,96936 / 0,79282
= 0,81000
وباستخدام الجداول أوالآلة الحاسبة، نجد أن 0,810000 هو جيب الزاوية 54,1°. إذن الزاوية أ = 54,1°. وعليه فمن نيويورك يكون اتجاه البوصلة نحو باريس هو 54,1° شمال شرق. ولكن الزاوية بين الاتجاه إلى باريس والشمال تتغير عندما نسير على الدائرة العظمى من مدينة نيويورك بالولايات المتحدة إلى باريس في فرنسا. ولذا فلا يمكن للشخص أن يصل إلى باريس بمجرد السير في اتجاه البوصلة.