نموذج بور دقيق فقط لنظام يحتوى على إلكترون واحد فقط مثل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] أو الأيون الأحادى [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] . وسيتم إستخدام نموذج بور لإستنتاج مستويات الطاقة للهيدروجين .
وسنقوم بالبدء بالثلاث فروض السهلة :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث ، h هى [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ، me هى كتلة الإلكترون . ولم يقم بور بعمل هذا الإفتراض ( والذى يعرف [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ) في شكله المشتق الأصلي ، لأنه لم يكن قد تم فرضه في هذا الوقت . عموما فإن هذا يسمح بلإفتراض الآتي :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث ، r نصف قطر المدار الذى يدور فيه الإلكترون ، n هى رقم صحيح .
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث k = 1 / 4πε0, و e هى شحنة الإلكترون.
وهذه ثلاث معادلات مع ثلاث معطيات غير معلومة : λ و r ، v . وبعد حل معادلات هذا النظام نجد معادلة واحدة خاصة بالمجهول v نضعها في المعادلة الخاصة بالطاقى الإجمالية للإلكترون :
وبسبب [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] يتم تبسيط الطاقة الكلية لتصبح :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وأخيرا نجد معادلة تعطينا الطاقة للمستويات المختلفة للهيدروجين :
وعلى هذا ، يكون أقل مستويات الطاقة للهيدروجين n=1 يساوى -13.6 [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] . ومستوى الطاقة التالى 'n=2 يساوى -3.4 eV ، والثالث 'n=3 يساوى -1.51 eV ، وهكذا .
لاحظ أن كل هذه الطاقات أقل من الصفر ، وهذا يعنى أن الإلكترون في حالة إرتباط مع البروتون .
وسنقوم بالبدء بالثلاث فروض السهلة :
- 1- كل الجسيمات لها طبيعة موجية ، والطول الموجي للإلكترون λ ، يتناسب مع سرعته v كالتالي :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث ، h هى [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ، me هى كتلة الإلكترون . ولم يقم بور بعمل هذا الإفتراض ( والذى يعرف [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ) في شكله المشتق الأصلي ، لأنه لم يكن قد تم فرضه في هذا الوقت . عموما فإن هذا يسمح بلإفتراض الآتي :
- 2- محيط المدار الذى يدور فيه الإلكترون لابد أن يكون ناتج من ضرب رقم صحيح في قيمة الطول الموجي للإلكترون :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث ، r نصف قطر المدار الذى يدور فيه الإلكترون ، n هى رقم صحيح .
- 3- يظل الإلكترون في المدار عن طريق [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ، وهذه القوى تساوى [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
حيث k = 1 / 4πε0, و e هى شحنة الإلكترون.
وهذه ثلاث معادلات مع ثلاث معطيات غير معلومة : λ و r ، v . وبعد حل معادلات هذا النظام نجد معادلة واحدة خاصة بالمجهول v نضعها في المعادلة الخاصة بالطاقى الإجمالية للإلكترون :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] | |
وبسبب [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] يتم تبسيط الطاقة الكلية لتصبح :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وأخيرا نجد معادلة تعطينا الطاقة للمستويات المختلفة للهيدروجين :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] | |
لاحظ أن كل هذه الطاقات أقل من الصفر ، وهذا يعنى أن الإلكترون في حالة إرتباط مع البروتون .